Exercicios resolvidos: 2018

terça-feira, 3 de abril de 2018

A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por x = 9,75 + 1,50t^3, em que x está em centímetros e t em segundos. Calcule (a) a velocidade média durante o intervalo de tempo de t = 2,00 s a t = 3,00 s; (b) a velocidade instantânea em t = 2,00 s; (c) a velocidade instantânea em t = 3,00 s; (d) a velocidade instantânea em t = 2,50 s; (e) a velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre as posições em t = 2,00 s e t = 3,00 s. (f) Plote o gráfico de x em função de t e indique suas respostas graficamente. resolvido

Resolvido:

Nós usamos Eq. 2-2 para velocidade média e Eq. 2-4 para velocidade instantânea e
trabalhar com distâncias em centímetros e tempos em segundos.

(a) Nós ligamos a equação dada para x para t = 2,00 se t = 3,00 se obtemos x2 =
21,75 cm e x3 = 50,25 cm, respectivamente. A velocidade média durante o tempo
intervalo 2,00 ≤ t ≤ 3,00 s é

que produz Vavg = 28,5 cm / s.

(b) A velocidade instantânea é

, que, no tempo t = 2,00 s, produz v = (4,5) (2,00) ^ 2 = 18,0 cm / s.

(d) Em t = 2,50 s, a velocidade instantânea é v = (4,5) (2,50) ^ 2 = 28,1 cm / s.

A função posição x(t) de uma partícula que está se movendo ao longo do eixo x é x = 4,0 − 6,0t^2, com x em metros e t em segundos. (a) Em que instante e (b) em que posição a partícula para (momentaneamente)? Em que (c) instante negativo e (d) instante positivo a partícula passa pela origem? (e) Plote o gráfico de x em função de t para o intervalo de −5 s a +5 s. (f) Para deslocar a curva para a direita no gráfico, devemos acrescentar a x(t) o termo +20t ou o termo −20t? (g) Essa modificação aumenta ou diminui o valor de x para o qual a partícula para momentaneamente? resolvido

Resolvido:

Usamos a notação funcional x (t), v (t) e a (t) nesta solução, onde a última
duas quantidades são obtidas por diferenciação:

com unidades SI entendidas.

(a) De v (t) = 0 nós achamos que está (momentaneamente) em repouso em t = 0.

(b) Obtemos x (0) = 4,0 m.

para os tempos em que a partícula pode ser encontrada passando pela origem.

(e) Mostramos tanto o gráfico solicitado (à esquerda) quanto o gráfico “deslocado” que

é relevante para a parte (f). Em ambos os casos, o eixo temporal é dado por –3 ≤ t ≤ 3 (unidades SI

Entendido).

(f) Chegamos ao gráfico à direita (mostrado acima) adicionando 20t ao x (t)

expressão.

(g) Examinar onde as inclinações dos gráficos se tornam zero, é claro que a mudança

faz com que o ponto v = 0 corresponda a um valor maior de x (o topo da segunda curva

mostrado na parte (e) é maior do que o primeiro).

(a) A posição de uma partícula é dada por x = 4 −12t + 3t^2 (em que está em segundos e x em metrôs), qual é a velocidade da partícula em t = 1 s? (b) O movimento nesse instante é no sentido positivo ou negativo de x? (c) Qual é a velocidade da hora certa? (d) A velocidade escalar está aumentando ou diminuindo nesse instante? (Tente responder às duas perguntas mais detalhadas fazer outros cálculos.) (e) Existem algum outro tipo de resposta? Caso uma afirmativa, para que valor de t isso acontece? (f) Você pode se manter após 3 dias sem participar. está se movendo no sentido negativo de x? Caso uma resposta seja afirmativa, para que valor de t isso acontece? resolvido

Resolvido:

Nós usamos Eq. 2-4 para resolver o problema.

(a) A velocidade da partícula é

Assim, em t = 1 s, a velocidade é v = (–12 + (6) (1)) = –6 m / s.

(b) Como v <0, ele está se movendo na direção –x em t = 1 s.

(d) Para 0 <t <2 s, | v | diminui até desaparecer. Para 2 <t <3 s, | v | aumenta de

zero para o valor que tinha na parte (c). Então, | v | é maior que esse valor para t> 3 s.

(e) Sim, desde que v suavemente mude de valores negativos (considere o resultado t = 1) para

positivo (note que como t → + ∞, temos v → + ∞). Pode-se verificar que v = 0 quando

t = 2 s.

(f) Não. De fato, de v = –12 + 6t, sabemos que v> 0 para t> 2 s.

quarta-feira, 28 de março de 2018

A posição de um elétron que se move ao longo do eixo x é dada por x = 16te^−t m, em que t está em segundos. A que distância da origem está o elétron quando para momentaneamente? resolva

Resolução:

Usando a propriedade geral

, nós escrevemos

Se uma preocupação se desenvolve sobre a aparência de um argumento do exponencial (–t)

aparentemente tendo unidades, então um fator explícito de 1/T where T = 1 segundo pode ser

inserido e realizado através do cálculo (o que não altera a nossa resposta).

O resultado dessa diferenciação é

com t e v em unidades do SI (se m / s, respectivamente). Nós vemos que essa função é zero
quando t = 1 s. Agora que sabemos quando ele pára, descobrimos onde ele passa
conectando nosso resultado t = 1 na função dada x = 16te^-t com x em metros. Assim sendo,
encontramos x = 5,9 m.

Você dirige do Rio a São Paulo metade do tempo a 55 km/h e a outra metade a 90 km/h. Na volta, você viaja metade da distância a 55 km/h e a outra metade a 90 km/h. Qual é a velocidade escalar média (a) na viagem do Rio a São Paulo, (b) na viagem de São Paulo ao Rio, e (c) na viagem inteira? (d) Qual é a velocidade média na viagem inteira? (e) Plote o gráfico de x em função de t para o item (a), supondo que o movimento ocorre no sentido positivo de x. Mostre de que forma a velocidade média pode ser determinada a partir do gráfico. resolvido

Resolução:

(a) Denotando o tempo de viagem e a distância do Rio a São Paulo como T e D, respectivamente, a velocidade média é

que deve ser arredondado para 73 km / h.

(d) Uma vez que o deslocamento da rede desaparece, a velocidade média da viagem na sua totalidade

é zero.

(e) Ao pedir um esboço, o problema é permitir que o aluno estabeleça arbitrariamente o
distância D (a intenção não é fazer com que o aluno vá a um atlas para consultá-lo); a
estudante pode facilmente definir arbitrariamente T em vez de D, como ficará claro no seguinte
discussão. Descrevemos brevemente o gráfico (com quilômetros-por-hora entendidos para
declives): dois segmentos de linhas contíguas, o primeiro tendo uma inclinação de 55 e
conectando a origem a (t1, x1) = (T / 2, 55T / 2) e o segundo tendo uma inclinação de 90 e
conectando (t1, x1) para (T, D) onde D = (55 + 90) T / 2 . A velocidade média, do ponto de vista gráfico, é a inclinação de uma linha desenhada a partir da origem até (T, D). o
gráfico (não desenhado em escala) é representado abaixo:

Onda de choque no trânsito. Quando o trânsito é intenso, uma redução brusca de velocidade pode se propagar como um pulso, denominado onda de choque, ao longo da fila de carros. A onda de choque pode ter o sentido do movimento dos carros, o sentido oposto, ou permanecer estacionária. A Fig. 2-25 mostra uma fila de carros regularmente espaçados que estão se movendo a uma velocidade v = 25,0 m/s em direção a uma fila de carros mais lentos, uniformemente espaçados, que estão se movendo a uma velocidade vl = 5,00 m/s. Suponha que cada carro mais rápido acrescenta um comprimento L = 12,0 m (comprimento do carro mais a distância mínima de segurança) à fila de carros mais lentos ao se juntar à fila, e que reduz bruscamente a velocidade no último momento. (a) Para que distância d entre os carros mais rápidos a onda de choque permanece estacionária? Se a distância é duas vezes maior que esse valor, quais são (b) a velocidade e (c) o sentido (o sentido do movimento dos carros ou o sentido contrário) da onda de choque? resolvido

Figura:

Resolução:

(a) Deixe os carros velozes e lentos serem separados por uma distância d em t = 0. Se durante o
intervalo de tempo t = L / Vs = (12,0 m) /(5,0 m / s) = 2,40 s em que o carro lento se moveu
uma distância de L = 12.0 m, o carro veloz move uma distância de vt = d + L para unir a linha
de carros lentos, então a onda de choque permaneceria estacionária. A condição implica
separação de

(b) Deixe a separação inicial em t = 0 ser d = 96,0 m. Mais tarde, o lento e os carros velozes viajaram

X = Vst e o carro rápido se une à linha movendo uma distância

d + x. A partir de

nós temos

que por sua vez dá t = (24,0 m) / (5,00 m / s) 4,80 s. Desde a parte de trás do carro lento

pacote deslocou uma distância de Δx = x - L = 24,0 m - 12,0 m a jusante, a

velocidade da parte traseira da mochila lenta, ou equivalentemente, a velocidade da onda de choque, é

Você tem que dirigir em uma via expressa para se candidatar a um emprego em outra cidade, que fica a 300 km de distância. A entrevista foi marcada para as 11 h 15 min. Você planeja dirigir a 100 km/h e parte às 8 h para ter algum tempo de sobra. Você dirige à velocidade planejada durante os primeiros 100 km, mas, em seguida, um trecho em obras o obriga a reduzir a velocidade para 40 km/h por 40 km. Qual é a menor velocidade que você deve manter no resto da viagem para chegar a tempo? resolvido

Resolução:

Os valores usados na declaração do problema facilitam ver que a primeira parte
a viagem (a 100 km / h) leva 1 hora, e a segunda parte (a 40 km / h) também leva 1 hora.
Expresso em forma decimal, o tempo restante é de 1,25 horas, e a distância que resta é
160 km. Assim, uma velocidade v = (160 km) / (1,25 h) = 128 km / h é necessária.

Para estabelecer um recorde de velocidade em uma distância d (em linha reta), um carro deve percorrer a distância, primeiro em um sentido (em um tempo t1) e depois no sentido oposto (em um tempo t2). (a) Para eliminar o efeito do vento e obter a velocidade vc que o carro atingiria na ausência de vento, devemos calcular a média aritmética de d/t1 e d/t2 (método 1) ou devemos dividir d pela média aritmética de t1 e t2 (método 2)? (b) Qual é a diferença percentual dos dois métodos se existe um vento constante na pista, e a razão entre a velocidade vv do vento e a velocidade vc do carro é 0,0240? resolvido

Resolução:

Para Vw = velocidade do vento e Vc = velocidade do carro.

(a) Suponha que, durante o intervalo de tempo t1, o carro se mova na mesma direção que o vento.

Então a velocidade efetiva do carro é dada por Veff ,1 = Vc + Vw , e a distância percorrida
é d = Veff,1t1 = (Vc + Vw)t1. Por outro lado, para a viagem de retorno durante o intervalo de tempo t2, o carro se move na direção oposta do vento e a velocidade efetiva seria Veff,2 = Vc - Vw . A distância percorrida é d = Veff,2t2 = (Vc - Vw)t2 . As duas expressões
podem ser reescrito como

Adicionando as duas equações e dividindo por dois, obtemos

Portanto, o método 1 fornece a velocidade do carro Vc em uma situação sem vento.

(b) Se o método 2 for usado, o resultado seria

A diferença fracionária é

Em uma corrida de 1 km, o corredor 1 da raia 1 (com o tempo de 2 min 27,95 s) parece ser mais rápido que o corredor 2 da raia 2 (2 min 28,15 s). Entretanto, o comprimento L2 da raia 2 pode ser ligeiramente maior que o comprimento L1 da raia 1. Qual é o maior valor da diferença L2 − L1 para o qual a conclusão de que o corredor 1 é mais rápido é verdadeira? resolvido

Resolução:

Convertendo para segundos, os tempos de execução são t1 = 147,95 s e t2 = 148,15 s,

respectivamente. Se os corredores foram igualmente rápidos, então

A partir disso, obtemos

onde definimos L1 ≅ 1000 m na última etapa. Assim, se L1 e L2 não são diferentes

cerca de 1,4 m, então o corredor 1 é de fato mais rápido que o corredor 2. No entanto, se L1 for mais curto

de L2 em mais de 1,4 m, então o corredor 2 seria realmente mais rápido.

Situação de pânico. A Figura mostra uma situação na qual muitas pessoas tentam escapar por uma porta de emergência que está trancada. As pessoas se aproximam da porta a uma velocidade vs = 3,50 m/s, têm d = 0,25 m de espessura e estão separadas por uma distância L = 1,75 m. A Figura mostra a posição das pessoas no instante t = 0. (a) Qual é a taxa média de aumento da camada de pessoasque se comprimem contra a porta? (b) Em que instante a espessura da camada chega a 5,0 m? (As respostas mostram com que rapidez uma situação desse tipo pode colocar em risco a vida das pessoas.) resolvido

Figura:

Resolvido:

A quantidade de tempo que leva para cada pessoa mover uma distância L com velocidade Vs é
Δt = L / Vs. Com cada pessoa adicional, a profundidade aumenta em uma profundidade de corpo d

(a) A taxa de aumento da camada de pessoas é

(b) A quantidade de tempo necessária para atingir uma profundidade de D = 5,0 m é

Dois trens, ambos se movendo a uma velocidade de 30 km/h, trafegam em sentidos opostos na mesma linha férrea retilínea. Um pássaro parte da extremidade dianteira de um dos trens, quando estão separados por 60 km, voando a 60 km/h, e se dirige em linha reta para o outro trem. Quando chegar ao outro trem, o pássaro faz meia-volta e se dirige para o primeiro trem, e assim por diante. Qual é a distância que o pássaro percorre até os trens colidirem? resolvido

Resolução:

Reconhecendo que a distância entre os trens está se fechando a uma taxa constante de 60 km / h,
o tempo total que decorre antes de bater é t = (60 km) / (60 km / h) = 1.0 h. Durante
esse tempo, a ave percorre uma distância de x = vt = (60 km / h) (1,0 h) = 60 km.

Em 1992, o recorde mundial de velocidade em bicicleta foi estabelecido por Chris Huber. O tempo para percorrer um trecho de 200 m foi de apenas 6,509 s, o que motivou o seguinte comentário de Chris: “Cogito ergo zoom!” (Penso, logo corro!). Em 2001, Sam Whittingham quebrou o recorde de Huber por 19 km/h. Qual foi o tempo gasto por Whittingham para percorrer os 200 m? resolvido

Resolução:

A velocidade de Huber é

onde usamos o fator de conversão 1 m / s = 3,6 km / h. Desde que Whittingham bateu
Huber em 19,0 km / h, a sua velocidade é de v1 = (110,6 km / h + 19,0 km / h) = 129,6 km / h, ou 36
m / s (1 km / h = 0,2778 m / s). Assim, usando a Eq. 2-2, o tempo através de uma distância de 200 m
para Whittingham é

A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo x é dada por x = 3t − 4t^2 + t^3, em que x está em metros e t em segundos. Determine a posição do objeto para os seguintes valores de t: (a) 1 s, (b) 2 s, (c) 3 s, (d) 4 s. (e) Qual é o deslocamento do objeto entre t = 0 e t = 4 s? (f) Qual é a velocidade média no intervalo de tempo de t = 2 s a t = 4 s? (g) Desenhe o gráfico de x em função de t para 0 ≤ t ≤ 4 s e indique como a resposta do item (f) pode ser determinada a partir do gráfico. resolvido

Resolução:

PENSE Neste problema cinemático unidimensional, nos é dada a posição
função x (t), e pediu para calcular a posição e velocidade do objeto em uma
Tempo.

A função de posição é dada como x (t) = (3 m / s) t - (4 m / s ^ 2) t ^ 2 + (1 m / s ^ 3) t ^ 3.
A posição do objeto em algum instante t0 é simplesmente dada por x (t0). Para o tempo
intervalo
t1 ≤ t ≤ t2, o deslocamento é Δx = x (t2) -x (t1). Da mesma forma, usando Eq. 2-2,
a velocidade média para este intervalo de tempo é

ANALISE (a) Conectar t = 1 s em x (t) produz

(b) Com t = 2 s obtemos

(d) Da mesma forma, conectando t = 4 s

(e) A posição em t = 0 é x = 0. Assim, o deslocamento entre t = 0 e t = 4 s é

Δ = x (4s) - x (0) = 12 - 0 = 12 m.

(f) A posição em t = 2 s é subtraída da posição em t = 4 s para dar a

deslocamento: Δx = x (4s) - x (2s) = 12 m - (-2 m) = 14 m. Assim, a velocidade média

(g) A posição do objeto para o intervalo 0 ≤ t ≤ 4 está abaixo. A linha reta traçada a partir do ponto em (t, x) = (2 s, –2 m) até (4 s, 12 m) representaria a

velocidade média, resposta para a parte (f).

APRENDA nossa representação gráfica ilustra mais uma vez que a velocidade média

por um intervalo de tempo depende apenas do deslocamento entre os pontos inicial e final.

Um carro sobe uma ladeira a uma velocidade constante de 40 km/h e desce a ladeira a uma velocidade constante de 60 km/h. Calcule a velocidade escalar média durante a viagem de ida e volta. resolvido

Resolução:

A aceleração média, ao contrário da velocidade média, relaciona-se com a distância total,
oposta ao deslocamento. A distância D até a colina é, obviamente, a mesma que
a distância descendo a colina, e desde que a velocidade é constante (durante cada fase do the25
movimento) temos velocidade = D / t. Assim, a velocidade média é

que, após cancelar D e ligar Vsubida = 40 km / h e Vdescida = 60 km / h, rende 48
km / h para a velocidade média.

Um automóvel viaja em uma estrada retilínea por 40 km a 30 km/h. Em seguida, continuando no mesmo sentido, percorre outros 40 km a 60 km/h. (a) Qual é a velocidade média do carro durante esse percurso de 80 km? (Suponha que o carro está se movendo no sentido positivo do eixo x.) (b) Qual é a velocidade escalar média? (c) Desenhe o gráfico de x em função de t e mostre como calcular a velocidade média a partir do gráfico. resolvido

Resolução:

PENSAR Este problema cinemático unidimensional consiste em duas partes, e nós
são convidados a resolver a velocidade média e velocidade média do carro.

EXPRESSE Como a viagem consiste em duas partes, deixe os deslocamentos durante a primeira e
as segundas partes do movimento são Δx1 e Δx2, e os intervalos de tempo correspondentes são Δt1
e Δt2, respectivamente. Agora, porque o problema é unidimensional e ambos
deslocamentos estão na mesma direção, o deslocamento total é simplesmente Δx = Δx1 +
Δx2, e o tempo total para a viagem é Δt = Δt1 + Δt2. Usando a definição de média
velocidade dada na Eq. 2-2, temos

Para encontrar a velocidade média, notamos que durante um tempo Δt se a velocidade permanece uma constante positiva, a velocidade é igual à magnitude da velocidade e a velocidade
a distância é igual à magnitude do deslocamento, com d = | Δx | = v Δt.

ANALISAR
(a) Durante a primeira parte do movimento, o deslocamento é Δx1 = 40 km e o tempo
tomada é

Da mesma forma, durante a segunda parte da viagem, o deslocamento é Δx2 = 40 km e o

intervalo de tempo é

O deslocamento total é Δx = Δx1 + Δx2 = 40 km + 40 km = 80 km, e o tempo total

decorrido é Δt = Δt1 + Δt2 = 2,00 h. Consequentemente, a velocidade média é

(b) Neste caso, a velocidade média é a mesma que a magnitude da média

velocidade: Savg = 40 km / h.

segmentos, tendo o primeiro uma inclinação de 30 km / he ligando a origem a (Δt1, Δx1) =

(1,33 h, 40 km) e o segundo com uma inclinação de 60 km / he ligação (Δt1, Δx1)

para (,t, Δx) = (2,00 h, 80 km).

Do ponto de vista gráfico, a inclinação da linha tracejada desenhada a partir da origem
para (Δt, Δx) representa a velocidade média.

APRENDA A velocidade média é uma grandeza vetorial que depende apenas do
deslocamento (também um vetor) entre os pontos inicial e final.

Calcule sua velocidade média nos dois casos seguintes: (a) você caminha 73,2 m a uma velocidade de 1,22 m/s e depois corre 73,2 m a uma velocidade de 3,05 m/s em uma pista reta; (b) você caminha 1,00 min a uma velocidade de 1,22 m/s e depois corre por 1,00 min a 3,05 m/s em uma pista reta. (c) Faça o gráfico de x em função de t nos dois casos e indique de que forma a velocidade média pode ser determinada a partir do gráfico. resolvido

Resolução:

(a) Usando o fato de que tempo = distância / velocidade enquanto a velocidade é constante, nós
encontramos

(b) Usando o fato de que a distância = vt enquanto a velocidade v é constante, encontramos

(c) Os gráficos são mostrados abaixo (com metros e segundos compreendidos). O primeiro
consiste em dois segmentos de linha (sólidos), o primeiro tendo um declive de 1,22 e o segundo
tendo uma inclinação de 3,05. A inclinação da linha tracejada representa a velocidade média (em
ambos os gráficos). O segundo gráfico também consiste em dois segmentos de linha (sólidos), tendo
mesmo declive como antes - a principal diferença (comparado ao primeiro gráfico) é que
o estágio que envolve movimentos de alta velocidade dura muito mais tempo.

Se você está dirigindo um carro a 90 km/h, e seus olhos permanecem fechados por 0,50 s por causa de um espirro, qual é a distância percorrida pelo carro até você abrir novamente os olhos? resolvido

Resolução:

A velocidade (constante assumida) é v = (90 km / h) (1000 m / km) / (3600 s / h) = 25 m / s.
Assim, em 0,50 s, o carro percorre uma distância d = vt = (25 m / s) (0,50 s) = 13 m (aproximada).

A Terra tem a forma aproximada de uma esfera com 6,37 × 106 m de raio. Determine (a) a circunferência da Terra em quilômetros, (b) a área da superfície da Terra em quilômetros quadrados e (c) o volume da Terra em quilômetros cúbicos resolvido

Resolução:

1. PENSAR. Neste problema, recebemos o raio da Terra e pedimos para calcular
circunferência, área de superfície e volume.

EXPRESSAR. Supondo que a Terra seja uma esfera de raio