Exercicios resolvidos: março 2018

quarta-feira, 28 de março de 2018

A posição de um elétron que se move ao longo do eixo x é dada por x = 16te^−t m, em que t está em segundos. A que distância da origem está o elétron quando para momentaneamente? resolva

Resolução:

Usando a propriedade geral

, nós escrevemos

Se uma preocupação se desenvolve sobre a aparência de um argumento do exponencial (–t)

aparentemente tendo unidades, então um fator explícito de 1/T where T = 1 segundo pode ser

inserido e realizado através do cálculo (o que não altera a nossa resposta).

O resultado dessa diferenciação é

com t e v em unidades do SI (se m / s, respectivamente). Nós vemos que essa função é zero
quando t = 1 s. Agora que sabemos quando ele pára, descobrimos onde ele passa
conectando nosso resultado t = 1 na função dada x = 16te^-t com x em metros. Assim sendo,
encontramos x = 5,9 m.

Você dirige do Rio a São Paulo metade do tempo a 55 km/h e a outra metade a 90 km/h. Na volta, você viaja metade da distância a 55 km/h e a outra metade a 90 km/h. Qual é a velocidade escalar média (a) na viagem do Rio a São Paulo, (b) na viagem de São Paulo ao Rio, e (c) na viagem inteira? (d) Qual é a velocidade média na viagem inteira? (e) Plote o gráfico de x em função de t para o item (a), supondo que o movimento ocorre no sentido positivo de x. Mostre de que forma a velocidade média pode ser determinada a partir do gráfico. resolvido

Resolução:

(a) Denotando o tempo de viagem e a distância do Rio a São Paulo como T e D, respectivamente, a velocidade média é

que deve ser arredondado para 73 km / h.

(d) Uma vez que o deslocamento da rede desaparece, a velocidade média da viagem na sua totalidade

é zero.

(e) Ao pedir um esboço, o problema é permitir que o aluno estabeleça arbitrariamente o
distância D (a intenção não é fazer com que o aluno vá a um atlas para consultá-lo); a
estudante pode facilmente definir arbitrariamente T em vez de D, como ficará claro no seguinte
discussão. Descrevemos brevemente o gráfico (com quilômetros-por-hora entendidos para
declives): dois segmentos de linhas contíguas, o primeiro tendo uma inclinação de 55 e
conectando a origem a (t1, x1) = (T / 2, 55T / 2) e o segundo tendo uma inclinação de 90 e
conectando (t1, x1) para (T, D) onde D = (55 + 90) T / 2 . A velocidade média, do ponto de vista gráfico, é a inclinação de uma linha desenhada a partir da origem até (T, D). o
gráfico (não desenhado em escala) é representado abaixo:

Onda de choque no trânsito. Quando o trânsito é intenso, uma redução brusca de velocidade pode se propagar como um pulso, denominado onda de choque, ao longo da fila de carros. A onda de choque pode ter o sentido do movimento dos carros, o sentido oposto, ou permanecer estacionária. A Fig. 2-25 mostra uma fila de carros regularmente espaçados que estão se movendo a uma velocidade v = 25,0 m/s em direção a uma fila de carros mais lentos, uniformemente espaçados, que estão se movendo a uma velocidade vl = 5,00 m/s. Suponha que cada carro mais rápido acrescenta um comprimento L = 12,0 m (comprimento do carro mais a distância mínima de segurança) à fila de carros mais lentos ao se juntar à fila, e que reduz bruscamente a velocidade no último momento. (a) Para que distância d entre os carros mais rápidos a onda de choque permanece estacionária? Se a distância é duas vezes maior que esse valor, quais são (b) a velocidade e (c) o sentido (o sentido do movimento dos carros ou o sentido contrário) da onda de choque? resolvido

Figura:

Resolução:

(a) Deixe os carros velozes e lentos serem separados por uma distância d em t = 0. Se durante o
intervalo de tempo t = L / Vs = (12,0 m) /(5,0 m / s) = 2,40 s em que o carro lento se moveu
uma distância de L = 12.0 m, o carro veloz move uma distância de vt = d + L para unir a linha
de carros lentos, então a onda de choque permaneceria estacionária. A condição implica
separação de

(b) Deixe a separação inicial em t = 0 ser d = 96,0 m. Mais tarde, o lento e os carros velozes viajaram

X = Vst e o carro rápido se une à linha movendo uma distância

d + x. A partir de

nós temos

que por sua vez dá t = (24,0 m) / (5,00 m / s) 4,80 s. Desde a parte de trás do carro lento

pacote deslocou uma distância de Δx = x - L = 24,0 m - 12,0 m a jusante, a

velocidade da parte traseira da mochila lenta, ou equivalentemente, a velocidade da onda de choque, é

Você tem que dirigir em uma via expressa para se candidatar a um emprego em outra cidade, que fica a 300 km de distância. A entrevista foi marcada para as 11 h 15 min. Você planeja dirigir a 100 km/h e parte às 8 h para ter algum tempo de sobra. Você dirige à velocidade planejada durante os primeiros 100 km, mas, em seguida, um trecho em obras o obriga a reduzir a velocidade para 40 km/h por 40 km. Qual é a menor velocidade que você deve manter no resto da viagem para chegar a tempo? resolvido

Resolução:

Os valores usados na declaração do problema facilitam ver que a primeira parte
a viagem (a 100 km / h) leva 1 hora, e a segunda parte (a 40 km / h) também leva 1 hora.
Expresso em forma decimal, o tempo restante é de 1,25 horas, e a distância que resta é
160 km. Assim, uma velocidade v = (160 km) / (1,25 h) = 128 km / h é necessária.

Para estabelecer um recorde de velocidade em uma distância d (em linha reta), um carro deve percorrer a distância, primeiro em um sentido (em um tempo t1) e depois no sentido oposto (em um tempo t2). (a) Para eliminar o efeito do vento e obter a velocidade vc que o carro atingiria na ausência de vento, devemos calcular a média aritmética de d/t1 e d/t2 (método 1) ou devemos dividir d pela média aritmética de t1 e t2 (método 2)? (b) Qual é a diferença percentual dos dois métodos se existe um vento constante na pista, e a razão entre a velocidade vv do vento e a velocidade vc do carro é 0,0240? resolvido

Resolução:

Para Vw = velocidade do vento e Vc = velocidade do carro.

(a) Suponha que, durante o intervalo de tempo t1, o carro se mova na mesma direção que o vento.

Então a velocidade efetiva do carro é dada por Veff ,1 = Vc + Vw , e a distância percorrida
é d = Veff,1t1 = (Vc + Vw)t1. Por outro lado, para a viagem de retorno durante o intervalo de tempo t2, o carro se move na direção oposta do vento e a velocidade efetiva seria Veff,2 = Vc - Vw . A distância percorrida é d = Veff,2t2 = (Vc - Vw)t2 . As duas expressões
podem ser reescrito como

Adicionando as duas equações e dividindo por dois, obtemos

Portanto, o método 1 fornece a velocidade do carro Vc em uma situação sem vento.

(b) Se o método 2 for usado, o resultado seria

A diferença fracionária é

Em uma corrida de 1 km, o corredor 1 da raia 1 (com o tempo de 2 min 27,95 s) parece ser mais rápido que o corredor 2 da raia 2 (2 min 28,15 s). Entretanto, o comprimento L2 da raia 2 pode ser ligeiramente maior que o comprimento L1 da raia 1. Qual é o maior valor da diferença L2 − L1 para o qual a conclusão de que o corredor 1 é mais rápido é verdadeira? resolvido

Resolução:

Convertendo para segundos, os tempos de execução são t1 = 147,95 s e t2 = 148,15 s,

respectivamente. Se os corredores foram igualmente rápidos, então

A partir disso, obtemos

onde definimos L1 ≅ 1000 m na última etapa. Assim, se L1 e L2 não são diferentes

cerca de 1,4 m, então o corredor 1 é de fato mais rápido que o corredor 2. No entanto, se L1 for mais curto

de L2 em mais de 1,4 m, então o corredor 2 seria realmente mais rápido.

Situação de pânico. A Figura mostra uma situação na qual muitas pessoas tentam escapar por uma porta de emergência que está trancada. As pessoas se aproximam da porta a uma velocidade vs = 3,50 m/s, têm d = 0,25 m de espessura e estão separadas por uma distância L = 1,75 m. A Figura mostra a posição das pessoas no instante t = 0. (a) Qual é a taxa média de aumento da camada de pessoasque se comprimem contra a porta? (b) Em que instante a espessura da camada chega a 5,0 m? (As respostas mostram com que rapidez uma situação desse tipo pode colocar em risco a vida das pessoas.) resolvido

Figura:

Resolvido:

A quantidade de tempo que leva para cada pessoa mover uma distância L com velocidade Vs é
Δt = L / Vs. Com cada pessoa adicional, a profundidade aumenta em uma profundidade de corpo d

(a) A taxa de aumento da camada de pessoas é

(b) A quantidade de tempo necessária para atingir uma profundidade de D = 5,0 m é

Dois trens, ambos se movendo a uma velocidade de 30 km/h, trafegam em sentidos opostos na mesma linha férrea retilínea. Um pássaro parte da extremidade dianteira de um dos trens, quando estão separados por 60 km, voando a 60 km/h, e se dirige em linha reta para o outro trem. Quando chegar ao outro trem, o pássaro faz meia-volta e se dirige para o primeiro trem, e assim por diante. Qual é a distância que o pássaro percorre até os trens colidirem? resolvido

Resolução:

Reconhecendo que a distância entre os trens está se fechando a uma taxa constante de 60 km / h,
o tempo total que decorre antes de bater é t = (60 km) / (60 km / h) = 1.0 h. Durante
esse tempo, a ave percorre uma distância de x = vt = (60 km / h) (1,0 h) = 60 km.

Em 1992, o recorde mundial de velocidade em bicicleta foi estabelecido por Chris Huber. O tempo para percorrer um trecho de 200 m foi de apenas 6,509 s, o que motivou o seguinte comentário de Chris: “Cogito ergo zoom!” (Penso, logo corro!). Em 2001, Sam Whittingham quebrou o recorde de Huber por 19 km/h. Qual foi o tempo gasto por Whittingham para percorrer os 200 m? resolvido

Resolução:

A velocidade de Huber é

onde usamos o fator de conversão 1 m / s = 3,6 km / h. Desde que Whittingham bateu
Huber em 19,0 km / h, a sua velocidade é de v1 = (110,6 km / h + 19,0 km / h) = 129,6 km / h, ou 36
m / s (1 km / h = 0,2778 m / s). Assim, usando a Eq. 2-2, o tempo através de uma distância de 200 m
para Whittingham é

A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo x é dada por x = 3t − 4t^2 + t^3, em que x está em metros e t em segundos. Determine a posição do objeto para os seguintes valores de t: (a) 1 s, (b) 2 s, (c) 3 s, (d) 4 s. (e) Qual é o deslocamento do objeto entre t = 0 e t = 4 s? (f) Qual é a velocidade média no intervalo de tempo de t = 2 s a t = 4 s? (g) Desenhe o gráfico de x em função de t para 0 ≤ t ≤ 4 s e indique como a resposta do item (f) pode ser determinada a partir do gráfico. resolvido

Resolução:

PENSE Neste problema cinemático unidimensional, nos é dada a posição
função x (t), e pediu para calcular a posição e velocidade do objeto em uma
Tempo.

A função de posição é dada como x (t) = (3 m / s) t - (4 m / s ^ 2) t ^ 2 + (1 m / s ^ 3) t ^ 3.
A posição do objeto em algum instante t0 é simplesmente dada por x (t0). Para o tempo
intervalo
t1 ≤ t ≤ t2, o deslocamento é Δx = x (t2) -x (t1). Da mesma forma, usando Eq. 2-2,
a velocidade média para este intervalo de tempo é

ANALISE (a) Conectar t = 1 s em x (t) produz

(b) Com t = 2 s obtemos

(d) Da mesma forma, conectando t = 4 s

(e) A posição em t = 0 é x = 0. Assim, o deslocamento entre t = 0 e t = 4 s é

Δ = x (4s) - x (0) = 12 - 0 = 12 m.

(f) A posição em t = 2 s é subtraída da posição em t = 4 s para dar a

deslocamento: Δx = x (4s) - x (2s) = 12 m - (-2 m) = 14 m. Assim, a velocidade média

(g) A posição do objeto para o intervalo 0 ≤ t ≤ 4 está abaixo. A linha reta traçada a partir do ponto em (t, x) = (2 s, –2 m) até (4 s, 12 m) representaria a

velocidade média, resposta para a parte (f).

APRENDA nossa representação gráfica ilustra mais uma vez que a velocidade média

por um intervalo de tempo depende apenas do deslocamento entre os pontos inicial e final.

Um carro sobe uma ladeira a uma velocidade constante de 40 km/h e desce a ladeira a uma velocidade constante de 60 km/h. Calcule a velocidade escalar média durante a viagem de ida e volta. resolvido

Resolução:

A aceleração média, ao contrário da velocidade média, relaciona-se com a distância total,
oposta ao deslocamento. A distância D até a colina é, obviamente, a mesma que
a distância descendo a colina, e desde que a velocidade é constante (durante cada fase do the25
movimento) temos velocidade = D / t. Assim, a velocidade média é

que, após cancelar D e ligar Vsubida = 40 km / h e Vdescida = 60 km / h, rende 48
km / h para a velocidade média.

Um automóvel viaja em uma estrada retilínea por 40 km a 30 km/h. Em seguida, continuando no mesmo sentido, percorre outros 40 km a 60 km/h. (a) Qual é a velocidade média do carro durante esse percurso de 80 km? (Suponha que o carro está se movendo no sentido positivo do eixo x.) (b) Qual é a velocidade escalar média? (c) Desenhe o gráfico de x em função de t e mostre como calcular a velocidade média a partir do gráfico. resolvido

Resolução:

PENSAR Este problema cinemático unidimensional consiste em duas partes, e nós
são convidados a resolver a velocidade média e velocidade média do carro.

EXPRESSE Como a viagem consiste em duas partes, deixe os deslocamentos durante a primeira e
as segundas partes do movimento são Δx1 e Δx2, e os intervalos de tempo correspondentes são Δt1
e Δt2, respectivamente. Agora, porque o problema é unidimensional e ambos
deslocamentos estão na mesma direção, o deslocamento total é simplesmente Δx = Δx1 +
Δx2, e o tempo total para a viagem é Δt = Δt1 + Δt2. Usando a definição de média
velocidade dada na Eq. 2-2, temos

Para encontrar a velocidade média, notamos que durante um tempo Δt se a velocidade permanece uma constante positiva, a velocidade é igual à magnitude da velocidade e a velocidade
a distância é igual à magnitude do deslocamento, com d = | Δx | = v Δt.

ANALISAR
(a) Durante a primeira parte do movimento, o deslocamento é Δx1 = 40 km e o tempo
tomada é

Da mesma forma, durante a segunda parte da viagem, o deslocamento é Δx2 = 40 km e o

intervalo de tempo é

O deslocamento total é Δx = Δx1 + Δx2 = 40 km + 40 km = 80 km, e o tempo total

decorrido é Δt = Δt1 + Δt2 = 2,00 h. Consequentemente, a velocidade média é

(b) Neste caso, a velocidade média é a mesma que a magnitude da média

velocidade: Savg = 40 km / h.

segmentos, tendo o primeiro uma inclinação de 30 km / he ligando a origem a (Δt1, Δx1) =

(1,33 h, 40 km) e o segundo com uma inclinação de 60 km / he ligação (Δt1, Δx1)

para (,t, Δx) = (2,00 h, 80 km).

Do ponto de vista gráfico, a inclinação da linha tracejada desenhada a partir da origem
para (Δt, Δx) representa a velocidade média.

APRENDA A velocidade média é uma grandeza vetorial que depende apenas do
deslocamento (também um vetor) entre os pontos inicial e final.

Calcule sua velocidade média nos dois casos seguintes: (a) você caminha 73,2 m a uma velocidade de 1,22 m/s e depois corre 73,2 m a uma velocidade de 3,05 m/s em uma pista reta; (b) você caminha 1,00 min a uma velocidade de 1,22 m/s e depois corre por 1,00 min a 3,05 m/s em uma pista reta. (c) Faça o gráfico de x em função de t nos dois casos e indique de que forma a velocidade média pode ser determinada a partir do gráfico. resolvido

Resolução:

(a) Usando o fato de que tempo = distância / velocidade enquanto a velocidade é constante, nós
encontramos

(b) Usando o fato de que a distância = vt enquanto a velocidade v é constante, encontramos

(c) Os gráficos são mostrados abaixo (com metros e segundos compreendidos). O primeiro
consiste em dois segmentos de linha (sólidos), o primeiro tendo um declive de 1,22 e o segundo
tendo uma inclinação de 3,05. A inclinação da linha tracejada representa a velocidade média (em
ambos os gráficos). O segundo gráfico também consiste em dois segmentos de linha (sólidos), tendo
mesmo declive como antes - a principal diferença (comparado ao primeiro gráfico) é que
o estágio que envolve movimentos de alta velocidade dura muito mais tempo.

Se você está dirigindo um carro a 90 km/h, e seus olhos permanecem fechados por 0,50 s por causa de um espirro, qual é a distância percorrida pelo carro até você abrir novamente os olhos? resolvido

Resolução:

A velocidade (constante assumida) é v = (90 km / h) (1000 m / km) / (3600 s / h) = 25 m / s.
Assim, em 0,50 s, o carro percorre uma distância d = vt = (25 m / s) (0,50 s) = 13 m (aproximada).

A Terra tem a forma aproximada de uma esfera com 6,37 × 106 m de raio. Determine (a) a circunferência da Terra em quilômetros, (b) a área da superfície da Terra em quilômetros quadrados e (c) o volume da Terra em quilômetros cúbicos resolvido

Resolução:

1. PENSAR. Neste problema, recebemos o raio da Terra e pedimos para calcular
circunferência, área de superfície e volume.

EXPRESSAR. Supondo que a Terra seja uma esfera de raio